MÃ ĐỀ 114
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm – Thời gian làm : 45 phút)
Câu 1 : Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A. \({\sin ^2}x + \sin x - 6 = 0\) B. \(\cos x = \dfrac{\pi }{2}\)
C. \({\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0\) D. \(2\cos 2x - \cos x - 3 = 0\)
Câu 2 : Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số \(y = \sin {\rm{x}}\).
A. \(T = \pi \) B. \(T = 0\) C. \(T = 2\pi \) D. \(T = \dfrac{\pi }{2}\)
Câu 3 : Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thơcs \({\left( {1 - 2x} \right)^8}\).
A. \(448\) B. \(56\) C. \( - 56\) D. \( - 448\)
Câu 4 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x - y - 3 = 0\). Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k = - 1\) và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\). Viết phương trình đường thẳng \(d'\).
A. \(3x - y + 3 = 0\) B. \(3x + y + 3 = 0\) C. \(3x + y - 3 = 0\) D. \(3x - y - 3 = 0\)
Câu 5 : Đội tuyển học sinh giỏi môn toán của trường THPT Kim Liên gồm có: \(5\) học sinh khối \(10\); \(5\) học sinh khối \(11\); \(5\) học sinh khối \(12\). Chọn ngẫu nhiên \(10\) học sinh từ đội tuyển đi tham dự kì thi \(AMC\). Có bao nhiêu cách chọn được học sinh của cả ba khối và có nhiều nhất hai học sinh khối \(10\) ?
A. \(50\) B. \(500\) C. \(501\) D. \(502\)
Câu 6 : Có bao nhiêu số có hai chữ số mà tất cả các chữ số đều là số lẻ?
A. \(25\) B. \(20\) C. \(10\) D. \(50\)
Câu 7 : Tìm số nghiệm trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) của phương trình \(\sin x = \cos 2x\).
A. \(3\) B. \(2\) C. \(1\) D. \(4\)
Câu 8 : Tìm tập giá trị của hàm số \(y = \cos \left( {2019x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\).
A. \(\left[ { - 1;1} \right]\) B. \(\left[ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\) C. \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) D. \(\left[ { - 2019;2019} \right]\)
Câu 9 : Tính giá trị của tổng \(T = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2018}\).
A. \(T = {2^{2019}}\) B. \(T = {2^{2019}} - 2\) C. \(T = {2^{2019}} - 1\) D. \(T = {3^{2019}}\)
Câu 10 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \left( {3; - 2} \right)\) biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2y = 0\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\). Tìm tọa độ \(I'\) của đường tròn \(\left( {C'} \right)\).
A. \(I'\left( {3; - 3} \right)\) B. \(I'\left( { - 3;1} \right)\) C. \(I'\left( {3; - 1} \right)\) D. \(I'\left( { - 3;3} \right)\)
Câu 11 : Phương trình \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\) tương đương với phương trình nào sau đây?
A. \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\) B. \({\rm{cos}}\left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\) C. \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\) D. \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\)
Câu 12 : Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\) có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau.
A. \(156\) B. \(240\) C. \(180\) D. \(106\)
Câu 13 : Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan x\).
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\) B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\) D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Câu 14 : Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. \(y = x\sin x\) B. \(y = {\sin ^2}x\) C. \(y = \cos 3x\) D. \(y = 2x\cos 2x\)
Câu 15 : Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)?
A. \(y = \cos x\) B. \(y = \sin x\) C. \(y = \cot x\) D. \(y = \tan x\)
Câu 16 : Cho các hình vẽ sau:
Trong các hình trên, hình nào có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?
A. Hình 3 B. Hình 2 và hình 3 C. Hình 1 D. Hình 1 và hình 4
Câu 17 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau, không song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Câu 18 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước.
D. Qua bốn điểm phân biệt bất kỳ có duy nhất một mặt phẳng.
Câu 19 : Cho hai đường tròn bằng nhau \(\left( {I;R} \right)\) và \(\left( {I';R'} \right)\) với tâm \(I\) và \(I'\) phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến \(\left( {I;R} \right)\) thành \(\left( {I';R'} \right)\)?
A. Vô số B. \(0\) C. \(2\) D. \(1\)
Câu 20 : Giải phương trình \(\cot x = - 1\).
A. \(x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) B. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(x = \pi + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) D. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu 21 : Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số sau lớn hơn chữ số trước?
A. \(C_9^6\) B. \(A_9^6\) C. \(A_{10}^6\) D. \(C_{10}^6\)
Câu 22 : Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BC = AC = CD = DB = a,\,\,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), điểm \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Đường thẳng \(AO\) cắt mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) tại \(G\). Tính diện tích tam giác \(GAD\).
A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}\) B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}\) C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\) D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\)
Câu 23 : Đề kiểm tra một tiết môn toán của lớp \(12A\) có \(25\) câu trắc nghiệm, mỗi câu có \(4\) phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất để học sinh đó làm đúng đáp án \(15\) câu.
A. \(\dfrac{{15}}{{{4^{25}}}}\) B. \(\dfrac{{C_{25}^{15}{{.3}^{10}}}}{{{4^{25}}}}\) C. \(\dfrac{{C_{25}^{15}{{.3}^{15}}}}{{{4^{25}}}}\) D. \(\dfrac{{C_{25}^{15}{{.3}^{10}}}}{{{4^{20}}}}\)
Câu 24 : Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\left| {\sin x - \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác.
A. \(2\) B. \(3\) C. \(1\) D. \(4\)
Câu 25 : Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\). Tìm hệ số \({a_k}\,\,\left( {0 \le k \le 10;\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) lớn nhất trong khai triển trên.
A. \(\dfrac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\) B. \(1 + \dfrac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\) C. \(\dfrac{{{2^6}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^6\) D. \(\dfrac{{{2^8}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^8\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 điểm – Thời gian làm bài: 45 phút )
Câu 1. (1,5 điểm)
a) Giải phương trình : \({\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = - 2\).
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\).
Câu 2. (1 điểm)
Ban cán sự lớp \(11A\) trường THPT Kim Liên có \(2\) học sinh nam và \(9\) học sinh nữ. Nhân dịp kỉ niệm \(45\) năm ngày thành lập trường, giáo viên chủ nhiệm lớp chọn ngẫu nhiên \(3\) học sinh trong ban cán sự tới dự chương trình “\(45\) NĂM – SEN VÀNG HỘI NGỘ”. Tính xác suất để \(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 3. (2,5 điểm)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (\(AB//CD,\,\,AB = 2CD\)). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SC\).
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
b) Xác định giao điểm \(K\) của đường thẳng \(AM\) với \(mp\left( {SBD} \right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{{AK}}{{AM}}\).
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM
|
1D |
2C |
3D |
4D |
5B |
6A |
7A |
8A |
9B |
10C |
|
11B |
12A |
13A |
14D |
15B |
16C |
17A |
18B |
19D |
20B |
|
21A |
22B |
23B |
24D |
25A |
|
|
|
|
|
Câu 1 (TH):
Phương pháp
Đưa các phương trình về dạng phương trình tích
Sử dụng các phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = a;\cos x = a,\tan x = b,\cot x = b\) với \( - 1 \le a \le 1.\)
Cách giải:
Đáp án A :
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + \sin x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 3\left( {VN} \right)\\\sin x = 2\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Nên loại A.
Đáp án B :
\(\cos x = \dfrac{\pi }{2}\) vô nghiệm vì \(\dfrac{\pi }{2} > 1\), do đó loại B.
Đáp án C: \({\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {\cot x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} = 0\) (vô nghiệm) nên loại C.
Đáp án D: \(2\cos 2x - \cos x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - \cos x - 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x - \cos x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \dfrac{5}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Chọn D.
Câu 2 (NB):
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn của hàm số \(y = \sin x\)
Cách giải:
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi .\)
Chọn C
Câu 3 (TH):
Phương pháp
Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton : \({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
Từ đó tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển
Cách giải:
Ta có : \({\left( {1 - 2x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}} \)
Số hạng chứa \({x^3}\) ứng với \(k = 3.\)
Suy ra hệ số cần tìm là : \(C_8^3.{\left( { - 2} \right)^3} = - 448.\)
Chọn D
Câu 4 (VD):
Phương pháp
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \(I\left( {a;b} \right)\) biến \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right)a\\y' = ky + \left( {1 - k} \right)b\end{array} \right.\)
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\) biến \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Cách giải:
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\)
Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k = - 1\).
Khi đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).2\\y' = - y + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x' + 4\\y = - y' + 6\end{array} \right.\) nên \(M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right)\)
Mà \(M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\) nên ta có :
\(\begin{array}{l}3\left( { - x' + 4} \right) - \left( { - y' + 6} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 3x' + 12 + y' - 6 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 3x' + y' + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3x' - y' - 3 = 0\end{array}\)
Do đó, ảnh của đường thẳng \(d:3x - y - 3 = 0\) qua phép vị tự tâm \(I\left( {2;3} \right)\) tỉ số \(k = - 1\) là đường thẳng \(d':3x - y - 3 = 0\)
Ta tìm ảnh của đường thẳng \(d'\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\)
Gọi \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in d':3x - y - 3 = 0\) và \(N'\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là ảnh của qua \({T_{\overrightarrow v }}\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 1\\{y_2} = {y_1} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} - 1\\{y_1} = {y_2} - 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\)
Thay tọa độ \(N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d':3x - y - 3 = 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}3\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{y_2} - 3} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_2} - {y_2} - 3 = 0\end{array}\)
Vậy ảnh của đường thẳng \(d'\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\) là đường thẳng \({d_1}:3x - y - 3 = 0.\)
Hay đường thẳng cần tìm là: \({d_1}:3x - y - 3 = 0.\)
Chọn D
Câu 5 (VD):
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về tổ hợp và hai qui tắc đếm cơ bản.
Cách giải:
TH1 : Đội tuyển gồm 1 học sinh khối 10 và 9 học sinh của 2 khối 11 và khối 12
Số cách chọn là : \(C_5^1.C_{10}^9 = 50\) cách
TH2 : Đội tuyển gồm 2 học sinh khối 10 và 8 học sinh của 2 khối 11 và khối 12
Số cách chọn là : \(C_5^2.C_{10}^8 = 450\) cách
Vậy có \(450 + 50 = 500\) cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn B
Câu 6 (TH):
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về qui tắc nhân.
Cách giải:
Tập hợp các chữ số lẻ là \(M = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\)
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \,\left( {a;b \in M} \right)\)
Khi đó \(a\) có 5 cách chọn và \(b\) có 5 cách chọn nên có \(5.5 = 25\) số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn A
Câu 7 (VD):
Phương pháp
Đưa phương trình về dạng cơ bản : \(\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\f\left( x \right) = - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
Cách giải:
Ta có : \(\sin x = \cos 2x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên \(x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6}; - \dfrac{\pi }{2}} \right\}\)
Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Chọn A.
Câu 8 (TH):
Phương pháp
Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị \(\left[ { - 1;1} \right]\)
Cách giải:
Ta có tập giá trị của hàm số \(y = \cos \left( {2019x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) là \(\left[ { - 1;1} \right]\)
Chọn A
Câu 9 (TH):
Phương pháp
Sử dụng : \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} \)
Thay \(x\) và \(n\) bởi các số thích hợp để xuất hiện tổng cần tìm
Cách giải:
Ta có : \({\left( {1 + x} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{x^k}} \)
Thay \(x = 1\) ta có :
\(\begin{array}{l}{2^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{2018}\\ \Rightarrow C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} = {2^{2019}} - C_{2019}^0 - C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} - 2\end{array}\)
Chọn B
Câu 10 (TH):
Phương pháp
Xác định tâm \(I\) của đường tròn \(\left( C \right)\)
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\) biến \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Cách giải:
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\)
Ảnh của \(I\left( {0;1} \right)\) qua tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \left( {3; - 2} \right)\) là \(I'\left( {x';y'} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( {C'} \right)\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + 3 = 3\\y' = 1 + \left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3; - 1} \right)\)
Chọn C
Câu 11 (TH):
Phương pháp
Chia cả hai vế cho \(2\) sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\) và \(\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\)
Cách giải:
Ta có :
\(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}\cos + \sin \dfrac{\pi }{3}\sin x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Chọn B
Câu 12 (VD):
Phương pháp
Sử dụng hai qui tắc đếm cơ bản
Cách giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \)
TH1 : \(d = 0\) thì
\(a\) có 5 cách chọn
\(b\) có 4 cách chọn
\(c\) có 3 cách chọn
Suy ra có \(1.5.4.3 = 60\) số chẵn có chữ số tận cùng là \(0.\)
TH2 : \(d \in \left\{ {2;4} \right\}\) thì \(d\) có 2 cách chọn
\(a\) có \(4\) cách chọn
\(b\) có 4 cách chọn
\(c\) có 3 cách chọn
Suy ra có \(2.4.4.3 = 96\) số
Vậy lập được tất cả \(96 + 60 = 156\) số thỏa mãn đề bài.
Chọn A
Câu 13 (TH):
Phương pháp
Hàm số \(y = \tan x\) xác định khi \(\cos x \ne 0\)
Cách giải:
Hàm số \(y = \tan x\) xác định khi \(\cos x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
Nên TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Chọn A.
Câu 14 (TH):
Phương pháp
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\) thì nó là hàm số lẻ
Cách giải:
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x\cos 2x\) có TXĐ : \(D = R\)
Nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
Lại có \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right).\cos \left[ {2\left( { - x} \right)} \right] = - 2x\cos \left( { - 2x} \right) = - 2x\cos 2x\) \( = - f\left( x \right)\)
Nên hàm số \(y = 2x\cos 2x\) là hàm số lẻ.
Chọn D
Câu 15 (TH):
Phương pháp
Sử dụng tính đơn điệu của các hàm lượng giác cơ bản
Cách giải:
Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Chọn B
Câu 16 (TH):
Phương pháp
Sử dụng định nghĩa hình có trục đối xứng và hình có tâm đối xứng.
Cách giải:
Hình 1 vừa có trục đối xứng và tâm đối xứng
Hình 2 và hình 3 có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng
Hình 4 có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng
Chọn C
Câu 17 (NB):
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng chéo nhau
Cách giải:
Khằng định : Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau là sai vì chúng có thể song song với nhau.
Chọn A
Câu 18 (NB):
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về cách xác định mặt phẳng trong không gian
Cách giải:
Đáp án A : Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện ba điểm này không thẳng hàng
Đáp án B : Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước là đúng.
Đáp án C: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện điểm đó nằm ngoài đường thẳng
Đáp án D: Sai
Chọn B
Câu 19 (NB):
Phương pháp
Sử dụng kiến thức về phép vị tự
Cách giải:
Có duy nhất 1 phép vị tự biến \(\left( {I;R} \right)\) thành \(\left( {I';R'} \right)\)
Chọn D
Câu 20 (NB):
Phương pháp
Giải phương trình lượng giác cơ bản : \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Cách giải:
Ta có : \(\cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chọn B
Câu 21(VD):
Phương pháp
Đếm số cách chọn \(\overline {abcdef} \) thỏa mãn \(a < b < c < d < e < f\).
Cách giải:
Gọi số thỏa mãn bài toán là \(\overline {abcdef} \) với \(0 < a < b < c < d < e < f \le 9\).
NX : Mỗi cách chọn một bộ \(6\) chữ số \(a,b,c,d,e,f\) thì chỉ có \(1\) cách sắp xếp duy nhất sao cho \(a < b < c < d < e < f\).
Do đó mỗi số thỏa mãn bài toán là một tổ hợp chập \(6\) của \(9\) phần tử \(1;2;...;9\).
Số các số cần tìm là \(C_9^6\).
Chọn A.
Câu 22(VDC):
Phương pháp
Tính độ dài các đoạn \(GA,GD,AD\) rồi nhận xét tính chất tam giác \(GAD\).
Cách giải:
Tam giác \(ACD\) có \(AC = CD = a,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \(A{E^2} = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\)
Tam giác \(BCD\) đều \( \Rightarrow BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(ABE\) có \(EM\) là đường trung tuyến của tam giác \(AEB\) nên :
\(E{M^2} = \dfrac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{7{a^2}}}{{16}}\)
Xét tam giác \(BME\) và bộ ba điểm \(A,G,O\) thẳng hàng có :
\(\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{OB}}{{OE}}.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{GE}}{{GM}} = 1\) hay \(G\) là trung điểm của \(ME\).
Xét tam giác \(ABD\) có \(DM\) là trung tuyến của \(\Delta ABD\) nên
\(D{M^2} = \dfrac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\).
Tam giác \(DME\) có trung tuyến \(DG\) nên
\(D{G^2} = \dfrac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \dfrac{{M{E^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\).
Lại có \(\cos \widehat {AEM} = \dfrac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2AE.EM}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\)
\( \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG\cos \widehat {AEG}\) \( = \dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{64}}} .\dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\) \( = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\)
Tam giác \(ADG\) có \(A{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\)
Do đó \(\Delta GAD\) cân tại \(G\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\) thì \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4},\)
\(G{H^2} = G{A^2} - A{H^2}\) \( = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{64}}\) \( \Rightarrow GH = \dfrac{{3a}}{8}\)
Diện tích tam giác \({S_{GAD}} = \dfrac{1}{2}GH.AD\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{8}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\)
Chọn B.
Câu 23(VD):
Phương pháp
- Đếm số cách chọn \(15\) trong \(25\) câu để làm đúng.
- Tính xác suất để làm đúng một câu.
- Dùng quy tắc nhân xác suất.
Cách giải:
Xác suất để làm đúng một câu là \(\dfrac{1}{4}\), xác suất để làm sai một câu là \(\dfrac{3}{4}\).
Chọn \(15\) trong \(25\) câu để làm đúng có \(C_{25}^{15}\) cách chọn.
Xác suất cần tìm là : \(C_{25}^{15}.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{15}}.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{10}} = \dfrac{{{3^{10}}C_{25}^{15}}}{{{4^{25}}}}\).
Chọn B.
Câu 24(VD):
Phương pháp
Đặt \(t = \sin x - \cos x\) tính \(\sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\) thay vào phương trình.
Giải phương trình và kết luận.
Cách giải:
Đặt \(t = \sin x - \cos x\)\(\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x\) \( \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\)
Thay vào phương trình ta được \(\left| t \right| + 8.\dfrac{{1 - {t^2}}}{2} = 1\) \( \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 - 8{t^2} = 2\) \( \Leftrightarrow 8{t^2} - 2\left| t \right| - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| = - \dfrac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow t = \pm 1\left( {TM} \right)\)
TH1 : \(t = 1\) thì \(\sin x - \cos x = 1\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\)
TH2 : \(\sin x - \cos x = - 1\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
Chọn D.
Câu 25(VD):
Phương pháp
Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất.
Cách giải:
SHTQ : \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{3}x} \right)^{10 - k}}\) \( = C_{10}^k.\dfrac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{3^k}}}{x^k} = \dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}{x^k}\)
Hệ số của SHTQ là \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\).
Ta có : \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}}\) \( \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\dfrac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{10 - k}} < \dfrac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right)\) \( \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \dfrac{{19}}{3}\)
Do đó \(\dfrac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\) và \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \dfrac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\)
Mà \(\dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\) nên hệ số lớn nhất là \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\).
Chọn A.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Câu 1:
Phương pháp
a) – Xét \(\cos x = 0\) thay vào phương trình và kiểm tra.
- Xét \(\cos x \ne 0\) và chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\).
- Giải phương trình và kết luận nghiệm.
b) Đặt \(u = \sqrt {\cos x + m} \) đưa về hệ phương trình.
Tìm \(m\) để hệ có nghiệm và kết luận.
Cách giải:
a) (VD) Giải phương trình : \({\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = - 2\).
+) Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \). Khi đó \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1\), thay vào phương trình ta được :
\(1 + 0 - 0 = - 2 \Leftrightarrow 1 = - 2\) (vô lí)
Suy ra \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}\) không phải là nghiệm.
+) Xét \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2\sqrt 3 \sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x - 1 = - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \tan x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
b) (VDC) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\).
Đặt \(u = \sqrt {\cos x + m} \), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + u = m\\{u^2} - \cos x = m\end{array} \right.\) . Trừ vế theo vế ta được
\({\cos ^2}x - {u^2} + u + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {u + \cos x} \right)\left( {\cos x - u + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = - \cos x\\u = \cos x + 1\end{array} \right.\)
*) \(u = \cos x + 1\), ta được \(\sqrt {m + \cos x} = \cos x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m + \cos x = {\left( {\cos x + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow m = {\cos ^2}x + \cos x + 1\).
Đặt \(t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) ta được \(m = {t^2} + t + 1 = f\left( t \right)\).
Bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{3}{4} \le m \le 3\).
*) \(u = - \cos x\), ta được \(\sqrt {m + \cos x} = - \cos x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \cos x \ge 0\\m + \cos x = {\cos ^2}x\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\m = {\cos ^2}x - \cos x\end{array} \right.\)
Đặt \(t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 0} \right)\) ta được \(m = {t^2} - t\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} - t\) trong đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) ta có bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm\( \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).
Kết hợp với TH1 ta được \(0 \le m \le 3\).
Vậy \(m \in \left[ {0;3} \right]\).
Câu 2(VD):
Phương pháp
- Tính sô phần tử của không gian mẫu.
- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Cách giải:
Chọn \(3\) trong \(11\) học sinh có \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^3 = 165\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) học sinh được chọn có cả nam và nữ”.
TH1 : Chọn \(1\) bạn nam và \(2\) bạn nữ có \(C_2^1.C_9^2 = 72\) cách.
TH1 : Chọn \(2\) bạn nam và \(1\) bạn nữ có \(C_2^2.C_9^1 = 9\) cách.
Suy ra: \(n\left( A \right) = 72 + 9 = 81\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{81}}{{165}} = \dfrac{{27}}{{55}}\).
Câu 3:
Phương pháp
a) Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow d//a//b\) .
b) Phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.
- Tìm mặt phẳng phụ \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(a\).
- Tìm giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) với \(\left( \alpha \right)\) đã cho.
- Tìm giao điểm của \(d\) với \(a\).
Sử dụng định lí Ta-let suy ra tỉ số.
Cách giải:
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
\(S\) là điểm chung của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
\(AB//CD;\,\,AB \subset \left( {SAB} \right);\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\).
Suy ra \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\).
b) Xác định giao điểm \(K\) của đường thẳng \(AM\) với \(mp\left( {SBD} \right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{{AK}}{{AM}}\).
Ta có: \(AM \subset \left( {SAC} \right)\).
Dễ thấy \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right),O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Do đó \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K = AM \cap SO\) thì \(K \in AM,K \in SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(K = AM \cap \left( {SBD} \right)\).
Do \(AB//CD\) nên \(\dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{{CD}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow OA = \dfrac{2}{3}AC,OC = \dfrac{1}{3}AC\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(OC\) suy ra \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta SCO\)
\( \Rightarrow ME//SO\).
Mà \(OE = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{6}AC\) \( \Rightarrow AE = AO + OE\) \( = \dfrac{2}{3}AC + \dfrac{1}{6}AC = \dfrac{5}{6}AC\)
\( \Rightarrow \) \(\dfrac{{AK}}{{AM}} = \dfrac{{AO}}{{AE}} = \dfrac{4}{5}\).
soanvan.me
