Đề bài
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ở E. Chứng minh rằng:
a) \(AB . AC = AD . AE\)
b) \(B{E^2} = AE.DE.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+ Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
+Tam giác đồng dạng
Lời giải chi tiết
a) Ta có AE là phân giác của góc A nên:
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAE}\) \(\Rightarrow \) cung BE = cung CE
Lạicó: \(\widehat {ABC} = \widehat {AEC}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó ∆ABD đồng dạng với ∆AEC (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{{AB} }{ {AE}} = \dfrac{{AD} }{{AC}}\) \(\Rightarrow AB . AC = AD . AE\).
b) Xét ∆ABE và ∆BDE có :
+) \(\widehat {AEB}\) chung
+) \(\widehat {BAE} = \widehat {EBC}\) ( góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau, cung BE = cung CE)
Do đó ∆ABE đồng dạng với ∆BDE (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{{BE} }{ {DE}} = \dfrac{{AE} }{ {BE}} \Rightarrow B{E^2} = AE.DE\).
soanvan.me