Đề bài
Từ điểm P bên ngoài đường tròn (O, kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến (O). Đường thẳng song song với PA kẻ từ B cắt (O) tại C, PC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường BE cắt PA tại M.
a) Chứng minh: \(PM^2= BM.ME\)
b) Chứng minh rằng M là trung điểm của PA.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung
+Tam giác đồng dạng
Lời giải chi tiết
a) PA // BC \(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{P_1}}\) ( so le trong)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {MBP}\) ( góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung BE)
Do đó \(∆PME\) và \(∆BMP\) đồng dạng (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{{PM}}{{BM}} = \dfrac{{ME} }{ {PM}}\)
\(\Rightarrow PM^2= BM.ME\) (1)
b) Tương tự ta có hai tam giác AME và BMA đồng dạng (g.g) vì có :
\(\widehat {MAE} = \widehat {{B_1}}\) và \(\widehat {AMB}\) chung
\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BM}} =\dfrac {{ME}}{{AM}}\)
\(\Rightarrow AM^2 = BM.ME\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P{M^2} = A{M^2}\)
\( \Rightarrow PM = AM\) hay M là trung điểm của PA.
soanvan.me